РСС- Blogwar.ru
 

Курс валюты

Курс Доллар США - рубль

Новости от Яндекса

 

Логические исследования Д. Гильберта

22 апреля 2013, понедельник
Логические исследования Д. Гильберта

Не остался в стороне от новых веяний и выдающийся немецкий математик Д. Гильберт (1862 - 1943), который утверждал, что прямая, точка и плоскость, по определениями Евклида, не имеют жестко закрепленного за ними содержания, а своего строгого аксиоматического содержанию они приобретают лишь в связи с теми аксиомами, которые выбираются для них.

Итак, Гильберт доказывает взгляды Паша и Пеано к их логическому завершению. Он утверждает, что даже названия основных понятий математической теории можно выбирать произвольно. Эту мысль ученый сформулировал следующим образом: следует добиться того, чтобы с одинаковым успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столы, стулья и кинвы (кружки для пива). То есть он имел в виду, что от замены слов «точка», «прямая» и «плоскость» словами «стол», «стул» и «кинвы» в геометрии ничего не изменится, потому что независимо от названий или применяемых символов дело должны с абстрактными объектами, для которых правильными будут соотношения, выраженные аксиомами.

Подобные новаторские идеи существенно затрагивали основу основ математики, радикально изменяя взгляды на природу математических объектов, в течение длительного времени ассоциировались с величинами и геометрическими фигурами. Математики второй половины XIX в. начинают соглашаться с тем, что в сфере их науки вполне правомерно говорить об объектах, которые не имеют никакой наглядной интерпретации. Выражая эти настроения, точнее - опережая их, Дж. Буль еще в 1854 г. писал, что в природе математики не заложена необходимость оперировать идеями числа и величины.

Новые взгляды на объекты математики способствовали широкому применению в ней аксиоматического метода, а вместе с ним и символической логики. Задачу математики ученые начинали видеть в создании учения об отношении между абстрактными объектами, о которых ничего не известно, кроме некоторых свойств, аксиоматически уложенных в основу теории.

В университетском городе Геттингене, что славился своими учеными во всем мире, в 1899 было опубликовано знаменитые «Основы геометрии» Гильберта, в которых четко определен подход к ключевым проблемам математики. Это - метаматематика (буквально: «вне математики»), своеобразная надматематика, главной задачей которой является доведение непротиворечивости формализованных теорий, рассматриваемых как будто извне, как будто сверху. Естественно предположить, что методы метаматематики должны быть в определенном смысле надформализованимы, сверхжесткая для того, чтобы преодолеть «гранит» формализованных теорий.

Однако уже доказано, что процесс формализации является безграничным, а метаматематика - это еще не самая высокая инстанция для оценки формализованных теорий.

Выход из такой ситуации предложил ассистент Гильберта, талантливый немецкий логик Г. Генцен (1909 - 1945), который изобрел соответствующий инструмент для метаматематики. Этим инструментом оказалась математическая индукция, с помощью которой было осуществлено мечту Гильберта - доведение непротиворечивости арифметики. Однако заметим, что предложенное доказательство существенно снижало требования к метаматематики, которые изначально выдвигал Гильберт.

Разрабатывая метаматематику, Гильберт настаивал на том, что система аксиом должна быть полной, независимой и несуперечною. Особое значение ученый придавал требованию непротиворечивости аксиом, так как при новом понимании математической теории как системы теорем, выводимых дедуктивно из множества произвольно выбранных аксиом, понятие непротиворечивости было единственно эффективной заменой интуитивно очевидных математических истин.

Основная роль в разработках Гильберта отводилась математической логике. Но не успели отгреметь пророческие слова о бурное развитие математической логики, как Э. Цермело, на тот момент доцент Геттингенского университета, отметил Гильбертовы на досадный парадокс в теории. (Аналогично поступил английский логик и философ Б. Рассел (1872 - 1970) по немецкого ученого Г. Фреге (1848 - 1925) именно тогда, когда Фреге готовил к печати свой труд по основам арифметики.)

Логики обычно говорят: теория содержит антиномию, или парадокс, если в ней приходятся два противоречащих друг другу выражения. Относительно математиков, то большинство из них считали антиномии философскими фокусами, а их эквивалент, парадоксы, - чем-то, что касается лингвистики, а не математики, когда речь идет о трудностях в форме противоречий. Однако время показало, что проблемы анти-номии является не только философскими или лингвистическими: они имеют прямое отношение и к математике.

Разделяя взгляды английского математика и логика Ф. Рамсея (1903 - 1930), ученые различают логические и семантические (смысловые) антиномии. К числу логических относится и изложена ниже антиномия Рассела.

Пусть для какой-то произвольного множества необходимо выяснить, является ли она своим элементом, или нет. Предположим, что множество планет не является «большой планетой». Следовательно, множество планет не является собственным элементом. Но множество может состоять и из одного элемента, то есть быть собственным элементом. Очевидно, что собственной множеством должно быть и множество всех множеств.

Проверим это утверждение, обозначив множество всех множеств большой буквой М. Если М является элементом М (элементом самого себя), то она принадлежит множеству всех множеств, не являющихся собственными элементами. Итак, М не является собственным элементом. С другой стороны, если М - не собственный элемент М, она не принадлежит множеству всех множеств, не являющихся собственными элементами. Тогда М является собственным элементом. Теперь можно констатировать: М является элементом М в том и только в том случае, когда М не является элементом М. Рассмотрим и это противоречие на примере.

Допустим, живет в каком-то селе цирюльник, что бреет только тех жителей села, не бреются сами. Если обозначить цирюльника буквой х, которую подставим в приведенный выражение, придем к выводу: х бреет ху том и только в том случае, когда хне бреет х. Условие, которое имеет по предположению удовлетворять цирюльник, которого беспокоит вопрос, брить ему себя самого, оказывается внутренне противоречивой, а следовательно, невыполнимой. Чтобы избежать противоречия, предлагается к описанию ситуации добавить несколько слов, а именно: «Цирюльник бреет всех жителей деревни, кроме себя».

Однако в теоретической науке все не так просто, как в случае с сельским цирюльником, о чем и свидетельствуют парадоксы Цермело и Рассела. Поэтому некоторый отход от традиционных способов логических рассуждений был нужен.

По словам Гильберта, парадокс Рассела произвел в математике «эффект полной катастрофы». Один за другим крупные специалисты по теории множеств оставляли свои исследования в этой области. Нависла опасность и над дедуктивными методами, поскольку было понятно, что подобные парадоксы возникли как следствие этих методов, которые постоянно использовались в математике. Защитников концепции Кантора стали обвинять в том, что они не понимают природы математики и необоснованно переносят на сферу бесконечного методы рассуждений, верны лишь по области конечного.

Гильберт был уверен, что есть способ избавиться парадоксов без слишком больших жертв. В связи с этим он предлагает, чтобы именно доказательства стало объектом логико-ма-тематического исследования. Так возникла идея метаматематики или теории доказательств.

Ученый намеревался осуществить свою программу в два этапа. На первом этапе всю математику планировалось Формализовать, т.е. построить такую ??формальную систему, из аксиом которой с помощью четко определенных правил вывода можно было бы сделать, по крайней мере, оснований математики. Эта система должна была быть формальной в том смысле, что в ней учитывались только вид и порядок символов (синтаксис), но никак не их значение (семантика).

На втором этапе Гильберт собирался показать, что применение правил вывода к аксиомам никогда не приведет К противоречия, если логические рассуждения будут столь элементарный характер, что их правильность нельзя будет подвергнуть сомнению. С помощью таких рассуждений должна была быть установлена ??метатеорема о невозможности противоречия, т.е. Гильберт предлагал исследовать методы

математических доказательств средствами теории доказательств (метаматематики). Он настаивал и на том, чтобы в теории доказательств разрешалось пользоваться только финитными (конечными) методами, которые позволяют избежать применения понятия «актуальная бесконечность». Новый подход должен также до-j возводить избежать использования «актуальной бесконечности-ч ности» и в формулировке проблемы доказывания противоречит ности, поскольку в любой данной теории существует счисления-бесконечное множество доказательств, но в утверждении о ее непротиворечивость говорится только о произвольной пару доказательств, а не о всей множество доказательств как о завершенном объекте

Предложив превратить математику на формализованную систему, объекты которой выражаются языком символической логики, Гильберт отмечал, что эти объекты (математические теоремы и их доказательства) должны охватывать совокупность всех теорем данной математической теории. Непротиворечивость этой формальной математической системы следовало устанавливать с помощью финитных методов.

Гильберту казалось правдоподобным, что проблему-противоречия, сформулированную в финитных терминах, можно и решить финитными методами. К сожалению, ученый так не уточнил, какие именно методы рассматривались им как финитные.

Однако ни Гильбертовы, ни его последователям не удалось выполнить намеченную программу полностью, поскольку они неверно пред-j ляли место и роль антиномий в развитии математики. Однако в процессе познавательного поиска этими учеными был накоплен много ценного в сфере теоретического мышления.

В конце 20-х годов XX в. Гильберт добавил к проблеме непротиворечивости новую - проблему полноты формальной системы. Это существенное ограничение было обусловлено попытками некоторых ученых доказать непротиворечивость как исходный принцип математического мышления. В своей научной рабо ученый К. Гедель в 1931 со всей логико-математической строгостью обосновал принципиальную неполноту формализованной теории. При этом приходилось теорема, из которой однозначно следовало, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные соображения. Итак, теряли смысл все усилия Гильберта математически доказать непротиворечивость формальной системы.

Ученый попытался изобрести конструктивный подход к проблеме. К тому же, как ни странно, сам Гедель чувствовал, и к его труд не противоречит формализм Гильберта. Действительно, вскоре стало ясно, что не следует отказываться от исходной программы Гильберта, благодаря которой плодотворно развивалась теория доказывания: необходимо несколько уменьшить требования формализации. Это понял и Гильберт, предложив заменить свою схему полной индукции на правило, получившее название трансфинитных индукции.

Несмотря на тяжелый удар, нанесенный Геделем программе формализации математики и установлению ее непротиворечивости с помощью абсолютного доказательства, вопрос о непротиворечивости математики, поднятое Гильбертом, сыграло неоценимую роль в истории логико-математической мысли. По словам самого Геделя, доведение непротиворечивости интересны и ведут к чрезвычайно важному проникновения в структуру теории доказательств в математике.

Запомним, что благодаря Гильберту была создана новая отрасль науки - метаматематику. И хотя отдельные исследования в этой области были и до него, только он имел самые оригинальные и позитивные результаты в теории доказательств. Поэтому Гильберта вполне справедливо считают отцом метаматематики как самостоятельной науки. А его талантливый ученик Г. Вейль (1885 - 1955) так сформулировал суть формализма Гильберта.

Если Евклид пытался дать описательное определение основных пространственных объектов и соотношений, действующих в его аксиомах, то Гильберт решительно отказался от такого подхода. По мнению немецкого ученого, основные понятия геометрии содержатся в аксиомах, которые являются неявными и неполными определениями этих понятий. Кроме того, Евклид считал аксиомы очевидными, тогда как в дедуктивной системе геометрии очевидность аксиом совершенно несущественна: аксиомы является лишь своеобразными предположениям, из которых выводятся те или иные логические выводы.

Гильберт старался не просто построить геометрию на прочном фундаменте, но впервые детально исследовать логическую структуру геометрического строения. Так ученый обнаружил вопрос о независимости аксиом, их невивиднисть с Данной системы аксиом. С этим вопросом тесно связано другое - о непротиворечивости теоретических утверждений, о Доказательство невозможности вывода одного утверждения с • Других в системе утверждений. Предметом изучения здесь становятся сами утверждения, а не те объекты, к которым они относятся. В случае ухода от непосредственно математических объектов все сводится к вопросу о непротиворечивости аксиом (арифметики), которое остается нерешенным. Аналогично утверждение о полноте означает, что каждое обще об объектах, участвующих в аксиомах, может быть выведено из них. Однако вопрос о полноте формализма, как его понимал Гильберт, был снят Геделем: он указал на способ построения арифметических утверждений, истинность которых очевидна, хотя они и не выводимых в рамках формализма. В результате границы того, что заслуживало доверия с интуитивного взгляда, снова стали нечетко очерченными, неопределенными. В этом, по Вейлем, и заключается основная проблема, которая волновала Гильберта.

Кроме постулатов непротиворечивости, независимости и полноты в логике существует еще один важный постулат-постулат решения дедуктивной с и с т е-м и как один из базисных для аксиоматического метода.

Разрешающей называют такую ??систему, в которой по каждому верно построенного высказывания можно обосновать или вивиднисть его из аксиом системы, или его невивиднисть. Иначе говоря, проблема решения заключается в том, чтобы определить, возможно ли для данной формализованного языка представить некую «механическую» процедуру, которая давала бы возможность для любого отношения по рассматриваемому формализма определить, истинное оно или нет. Такая проблема разрешающей для формализмов, содержащих мало начальных знаков и аксиом, а для более богатых систем ц "сделать невероятно трудно, если вообще возможно. Вс упирается в проблему непротиворечивости.

Выдающийся американский математик, логик и филосо 'В. А. Куайн (род. 1908) первым назвал операцию использования логических правил для проверки логических формул решением. Суть решения логической формулы заключается в изучении того, при каких подстановок («истина» или «ложь-ность» *) на место переменных формула превращается в истинное или ложное высказывание. Это дает ответ на

* Поскольку в украинском языке нет точного термина, эквивалентного российскому логико-математическом термина «ложность» («ложь»), а украинское слово «ложь» («ложь») используется в основном для указания на ошибочность, в данном пособии предлагается использовать термин «ложнисть »(« лож »). (Тем более, что в украинском языке широкоупотребляемыми есть слова «лжепророк», «лженаука» и др..)

вопрос, является логическая формула выполняемой (или переходит она при хотя бы одного отбора подстановок в истинное высказывание) и общезначимой (или переходит она в истинное высказывание при любых подстановок).

Куайн ни был основателем процедур разрешения. Его заслуга перед логикой состоит в том, что проблема решения было сфокусировано на фундамент логической науки, которым логика высказываний.

Нравится

Комментарии — добавить свой

 
   
 
 
© 2010–2017 «Blogwar.ru», все права защищены