РСС- Blogwar.ru
 

Курс валюты

Курс Доллар США - рубль

Новости от Яндекса

 

Теория множеств

20 апреля 2013, суббота
Теория множеств

Необходимая для проектирования цепей алгебра множеств во многом отличная от традиционных алгебраических систем. Дело в том, что ряд законов обычной алгебры теряет силу при переходе к алгебре множеств. В связи с этим операции над множествами часто называют не суммой или произведением множеств, а объединением и пересечением. Обозначают эти операции специальными символами u и п, не подсказывают аналогий с операциями над числами.

Алгебраические системы, подобные алгебры множеств, называют алгебрами Буля (булевыми алгебрами), именем математика, впервые их рассмотрел.

Джордж Буль (1815 - 1864) - автор всемирно известных трудов «Математический анализ логики» (1847) и «Изучение законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей» (1854).

Из истории булевой алгебры логики узнаем, что с развитием алгебры оказалась очевидной аналогия между правилами формальной логики и правилам алгебры. Эта аналогия базируется на той общей для обеих наук свойства, заключается в ориентации логического и алгебраического анализов на неопределенные объекты, от природы которых можно абстрагироваться.

Основная теоретическая идея Буля состоит в том, что в логике надо иметь дело не с конкретными значениями высказываний, а с абстрактными множествами объектов неопределенности предназначенной природы как «смысловым» содержанием математических или логических выражений. Вследствие этого форма высказываний теряет свою специфику, обусловленную, например, использованием выражений естественного языка, и приобретает алгебраического вида.

Понятие множества использовалось в логике давно, хотя и не было сделано точного его анализа. Объемы терминов (понятий в традиционной логике) - это множество предметов, обозначенных этими терминами, подпадающих под данные понятия. Отношение между объемами терминов - это отношение между множествами.

Известно, что логики используют такие базисные для своей науки понятие, как «все», «ни один» и т.п.. С помощью слова «все» построим выражение: «Все х, для которых определена функция / (х) (например,« Хуми фаты в покер »), образуют множество». В данном случае утверждается, что существует область определения так называемой пропозициональной функции (функции высказывания) f. Ученые считают, что именно так математическое понятие множества входит в логику.

Возникновение и развитие теории множеств связаны с исследованием бесконечных множеств, основателем которых был выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845 - 1918). Первые работы ученого встретили сопротивление со стороны многих современных ему математиков, поскольку считалось, что «бесконечность» никогда не войдет в состав математических понятий. Однако кантора теория множеств развивалась и вскоре стала основной математической дисциплиной, которая широко применяется в различных разделах математики.

Отметим, что возникновение и развитию Канторовой теории множеств предшествовала разработка Булем некоторых теоре-тико-множественных понятий.

С помощью булевой алгебры осуществляется описание операций над множествами высказываний. Сопоставление операций Буля над высказываниями с операциями Кантора над множествами показывает: операции над высказываниями и множествами имеют общие свойства, к которым относятся к о м у-тативнисть (перемещение), ассоциативность (сообщения), дистрибутивность (распределения). При этом некоторые свойства таких операций не похожи на свойства операций над числами. Кстати, Буль первым высказал мысль о том, что операции с числами или величинами не характеризуют сущности математики. Он считал, что в математике возможны следующие разделы, которые не имеют дела с числами и величинами, например теория множеств, разрабатывалась как своеобразная алгебра, где переменные не указывают ни на число, ни на величины. Однако такие интересные идеи не были до конца реализованы их автором, поскольку Буль разрабатывал свою алгебру логики в форме, традиционной для алгебры того времени, а не в форме продуманной дедуктивной системы.

Современные математики разделяют взгляды Буля. Ошибочно считается, отмечают они, что вычисление является главным, чем занимается математика. На самом же деле в чистой 'математике вычисления встречаются очень редко. Обычно они осуществляются тогда, когда собственно математическую работа закончена и речь идет только о том, чтобы, руководствуясь известным правилам, выполнить определенный объем чисто механической работы.

Итак, элементами булевой алгебры множеств является не число, а определенные объекты, природа которых игнорируется. Существенным при этом является лишь то, что все элементы алгебры, которые называются множествами, представляют собой части одного и того же множества. Эту исходную множество называют универсальной и часто обозначают большой латинской буквой U (первая буква латинского слова universalis - общий), что читается как «все», «всякий», «любой», «никакой».

Различные науки имеют собственные универсальные множества изучаемых. Так, в арифметике натуральных чисел универсальной множеством является множество всех натуральных чисел.

Поскольку множество может содержать любое количество членов, то она может состоять и из одного элемента. Такая множество называется единичной.

Определяя множество, невозможно знать заранее, содержит ли она хотя бы один элемент. Поэтому полезно рассматривать и множества, не имеющие ни одного элемента, то есть пустые множества. Заметим, что множество, каждому члену которой не присуща определенная свойством, является множеством, где нет членов, обладающих данное свойство. Такая множество называется нулевой, или пустой, и обозначается символом 0 (или «0»). Это множество может содержать такие несуществующие объекты, как «круглые квадраты», «женатые парни», «зеленые идеи» и другие.

Существуют различные способы извлечения подмножеств с универсального множества, число элементов которой может быть как конечным, так и бесконечным. Одним из таких способов является полный перечень членов множества. Можно также выделять некоторое множество как совокупность всех объектов, соответствующих какой-то определенной требованию.

Множество считают определенной, если можно сказать относительно любого предмета, принадлежит или не принадлежит ли он к этого множества.

Обычно множества обозначают прописными буквами латинского алфавита (А, В, С, D, ...), а их члены - строчными буквами того же алфавита (а, Ь, с, си, ...).

Над элементами булевой алгебры можно выполнять определенные операции. Результатом каждой такой операции, выполняемой над множествами (элементами алгебры), будет также множество (элемент алгебры). Это обстоятельство определяет название булевой алгебры - алгебра множеств.

образуют множество ». В данном случае утверждается, что существует область определения так называемой пропозициональной функции (функции высказывания) f. Ученые считают, что именно так математическое понятие множества входит в логику.

Возникновение и развитие теории множеств связаны с исследованием бесконечных множеств, основателем которых был выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845 - 1918). Первые работы ученого встретили сопротивление со стороны многих современных ему математиков, поскольку считалось, что «бесконечность» никогда не войдет в состав математических понятий. Однако кантора теория множеств развивалась и вскоре стала основной математической дисциплиной, которая широко применяется в различных разделах математики.

Отметим, что возникновение и развитию Канторовой теории множеств предшествовала разработка Булем некоторых теоре-тико-множественных понятий.

С помощью булевой алгебры осуществляется описание операций над множествами высказываний. Сопоставление операций Буля над высказываниями с операциями Кантора над множествами показывает: операции над высказываниями и множествами имеют общие свойства, к которым относятся к о м у-тативнисть (перемещение), ассоциативность (сообщения), дистрибутивность (распределения). При этом некоторые свойства таких операций не похожи на свойства операций над числами. Кстати, Буль первым высказал мысль о том, что операции с числами или величинами не характеризуют сущности математики. Он считал, что в математике возможны следующие разделы, которые не имеют дела с числами и величинами, например теория множеств, разрабатывалась как своеобразная алгебра, где переменные не указывают ни на число, ни на величины. Однако такие интересные идеи не были до конца реализованы их автором, поскольку Буль разрабатывал свою алгебру логики в форме, традиционной для алгебры того времени, а не в форме продуманной дедуктивной системы.

Нравится

Комментарии — добавить свой

 
   
 
 
© 2010–2017 «Blogwar.ru», все права защищены